Métodos Matemáticos e Computacionais

Como apresentado  no artigo discretização de EDP’s pelo método das diferenças finitas resulta em uma ótima resolução de problemas, porém o método se restringe a problemas nos quais a malha estabelecida para a EDP possua geometria regular, assim não  é possível aplicar o método em situações em que a   geometria  não são regulares. Com o desenvolvimento de métodos numéricos computacionais e o aumentando da necessidade  de modelos cada vez mais realísticos o método dos elementos finitos (MEF) tem como proposta a modelagem de situações que apresentam geometrias irregulares. Fig 1.: Malha irregular O MEF possui diversas aplicabilidades que resulta em diferentes complexidades na resolução de problemas, desenvolvimento de modelos matemáticos e por este motivo será apresentado aqui uma breve introdução conceitual. Para entendermos o método focaremos em 5 partes principais a discretização, equações regentes, montagem, condições de contorno, solução. ...

O conceito de diferenciação é fundamental para resolver um grande número de problemas na Engenharia e na Ciência. Muitos destes problemas possuem soluções analíticas, porém as vezes faz-se necessário recorrer a soluções numéricas para entendê-los, pois as soluções analíticas não são conhecidas ou demasiadamente complicadas. Na postagem Diferenciação Numérica , iniciamos diferenciação numérica. Conhecemos os fundamentos da derivada numérica, pôde-se entender a motivação de se usar a diferenciação numérica e foram apresentadas as fórmulas de aproximação da derivada primeira por diferenças finitas progressiva, regressiva e central, deduzidas a partir da expansão em série de Taylor, bem como um exemplo de como aplicá-las. Hoje, vamos conhecer as fórmulas de diferenciação deduzidas a partir do polinômio de Lagrange. Consideremos três pontos, (x i ,y i ), (x i+1 ,y i+1 ) e (x i+2 ,y i+2 ). O polinômio de Lagrange que passa por esses pontos é: Derivando a equação a cima,obtém-se: ...

    Como já discutido na postagem que abordou teoricamente o assunto EDP, EDPs parabólicas são largamente encontradas em aplicações científicas de diversas áreas; e existe uma poderosa função interna do MATLAB ® capaz de resolver esse tipo de equação diferencial: a função pdepe . Vejamos o seguinte problema:         Em uma situação de transferência de calor, uma placa de largura L é aquecida em um lado por uma superfície que possui uma fonte de calor (figura) e no outro lado a temperatura é fixa (T = 0ºC), como podemos observar na ilustração: FIGURA 1: Ilustração do problema de EDP - Transferência de calor Dessa forma, a placa tem uma temperatura inicial T = 0ºC e há um aumento de calor com o tempo da direita para a esquerda até que se chegue a um estado estacionário. A EDP que descreve o problema é: onde k = condutividade térmica atômica da placa,  ρ = densidade superficial da placa e C p é o calor específico. As condições iniciais p...