MEF- Uma breve Introdução

Como apresentado  no artigo discretização de EDP’s pelo método das diferenças finitas resulta em uma ótima resolução de problemas, porém o método se restringe a problemas nos quais a malha estabelecida para a EDP possua geometria regular, assim não  é possível aplicar o método em situações em que a  geometria não são regulares. Com o desenvolvimento de métodos numéricos computacionais e o aumentando da necessidade  de modelos cada vez mais realísticos o método dos elementos finitos (MEF) tem como proposta a modelagem de situações que apresentam geometrias irregulares.

Fig 1.: Malha irregular

O MEF possui diversas aplicabilidades que resulta em diferentes complexidades na resolução de problemas, desenvolvimento de modelos matemáticos e por este motivo será apresentado aqui uma breve introdução conceitual.

Para entendermos o método focaremos em 5 partes principais a discretização, equações regentes, montagem, condições de contorno, solução.

DISCRETIZAÇÃO

Esta etapa consiste em dividir o domínio  da solução em elementos finitos de forma que cada elemento se conecte com outro por meio de nós e linhas de planos nodais.

Existem diversos programas que executam  a discretização de maneira eficiente e em vários tipos de entidades geométricas.

EQUAÇÕES QUE REGEM OS ELEMENTOS

Cada elementos e regido( influenciado) por uma equação de aproximação numérica. Através de uma função se define coeficientes para serem avaliados de modo que a função seja o mais próxima da solução.

Devido a facilidade de processamento computacional de funções  polinomiais  se fará uso destas. Para fins didáticos a funções serão de primeiro grau aplicadas  em uma dimensão apenas.

Fazendo uso de uma função geral linear

Sendo:

u(x): Variável independente

a0  e a 1 :  constantes

x: variável independente

Aplicando  nos nós de  um elemento linear obtemos:

Fig 2.: Elemento unidimensional.

Aplicando a regra de Cramer ao sistema formado

Substituindo a0  e a 1 função geral resulta em

Fazendo

Resulta em:

A forma final da função de aproximação é uma interpolação de primeiro grau de Lagrange.

Sendo u o comportamento linear da função de aproximação do elemento e derivando u em relação à ‘x’, fica,

.

Que representa a inclinação da linha entre os dois nós.

Aplicando a integração na função u(x),

É possível observar pela figura 4 que a integral de u(x) pode ser estimada pela regra do trapézio.

Fig 3.: Trapézio

Uma vez estabelecidas as funções de aproximação do elemento ainda falta definir uma função que dite o comportamento do elemento. Esta função representa um ajuste da função para a solução

da equação diferencial em questão. Existem vários métodos para esse propósito; entre os mais comuns são o método direto, o método dos resíduos ponderados e o método variacional. Esses métodos especificam as relações entre as incógnitas na equação resultante da interpolação de Lagrange de modo a satisfazer a EDP.

De modo geral as equações do elemento consistem de sistemas de queações algébricas lineares e podem ser expressas.

Método direto

Utilizando o método direto para uma eq. do tipo

.

Uma equação generalizada para um único elemento unidimensional

.

Método dos resíduos ponderados

Aplicando o método a uma equação do tipo

A solução aproximada é substituída na última equação. Como o resultado não será exato gerado é um resíduo R que será tratado com o método dos resíduos ponderados para que se encontre menor resíduo de acordo com a equação geral.

Sendo:

D=domínio da solução

Wi= as funções de ponderações linearmente dependentes

É comumente usado o método de Galerkin para as funções de ponderação. O método consiste em empregar funções de interpolação Ni. Elaborando um arranjo para um elemento unidimensional com dois nós, fica:

Integrando por partes o lado direito

Como

Como N1(x2)=0 e N1(x1)=1 fica,

Desta forma o primeiro termo do lado direito da equação representa as condições de contorno do elemento. Juntando com o segundo termo da direita e iterando a função de resíduo, temos:

A integração por partes resultou no aparecimento dos valores de contorno e na diminuição da ordem da função original. Apesar de preservar a continuidade a função não fornece o valor da inclinação nos nós.

Substituímos os valores para montar uma equação matricial que represente um elemento unidimensional, tal como a figura 4.

Montagem

Uma vez que as equações de elementos individuais são obtidas, elas devem ser juntadas para caracterizar o comportamento de todo o sistema. O processo de montagem é governado pelo conceito de continuidade. Ou seja, soluções de elementos adjuntos são acopladas, de modo que os valores das incógnitas (e às vezes os derivados) em seus nós comuns são equivalentes. Assim, a solução total será contínua.

Na equação matricial a seguir acoplou-se 4 elementos que resultou em 5 nós

Fig4.: Sistema de elementos acoplado

CONDIÇÕES DE CONTORNO

A medida que os elementos são juntados e os termos são desenvolvidos as condições de contorno dos elementos internos se cancelam, desta forma restam apenas as condições inicial e final do sistema.

SOLUÇÃO

Há vários métodos para resolver a equação matricial resultante, tal como a decomposição em LU. Ao solucionar a matriz  se exibe a solução em tabelas ou esquema gráficos para uma melhor visualização e compreensão do método aplicado.

EXEMPLO

Em uma análise de reações e deslocamento em uma barra de 100 metros de       Equação Regente
comprimento com coeficiente de Hooke 210 Giga Pascal e area transversal 1E-3 m².
Foi aplicado forças de 5E4  kN no ponto u3. A analise MEF do sistema. Em seguida realizada com o auxilio de um algoritmo computacional executado no MATLAB® .

O Resultado obtido foi O deslocamento em metros e a reação kN:

• Clique aqui para ter acesso aos códigos.

REFERÊNCIAS

CHAPRA, Steven C.; P. CANALE, Raymond . Numerical Methods : for Engineers. 7th. ed. Penn Plaza, New York, NY 10121: McGraw-Hill Education, 2015. 987 p.

A Finite Element Solution of the Beam  Beam Equation with MATLB.S Rao. Gunakala.; D.M.G. Comissiong .; K.Jordan .; Alana Sankar. International Journal of Applied Science and Technology Vol. 2 No. 8; October 2012

Figura1: Malha irregular fonte: Dipartimente Strong formulation of  Finite Elemente Method  <http://software.dicam.unibo.it/strong-formulation-finite-element-method>