Diferenciação Numérica - Polinômios de Lagrange
O conceito de diferenciação é fundamental para resolver um
grande número de problemas na Engenharia e na Ciência. Muitos destes problemas
possuem soluções analíticas, porém as vezes faz-se necessário recorrer a
soluções numéricas para entendê-los, pois as soluções analíticas não são
conhecidas ou demasiadamente complicadas.
Na postagem Diferenciação Numérica, iniciamos diferenciação numérica. Conhecemos os
fundamentos da derivada numérica, pôde-se entender a motivação de se usar a
diferenciação numérica e foram apresentadas as fórmulas de aproximação da
derivada primeira por diferenças finitas progressiva, regressiva e central,
deduzidas a partir da expansão em série de Taylor, bem como um exemplo
de como aplicá-las. Hoje, vamos conhecer as
fórmulas de diferenciação deduzidas a partir do polinômio de Lagrange.
Consideremos
três pontos, (xi,yi), (xi+1,yi+1) e
(xi+2,yi+2). O polinômio de Lagrange que passa por esses
pontos é:
Derivando
a equação a cima,obtém-se:
Esta
fórmula pode ser usada para o cálculo da derivada quando os pontos não estão
igualmente espaçados, e também calcula qualquer derivada entre os pontos xi
e xi+2.
Para
calcular a derivada a primeira em qualquer um dos três pontos basta substituir
o valor x pelo correspondente (xi, xi+1 ou xi+2)
na Eq. 2, resultando nas três fórmulas a seguir para o cálculo da derivada
primeira em cada ponto:
Quando
as distâncias entre os pontos tem valores iguais, a Eq. 3 se reduz à formula de
diferença progressiva de três pontos, a Eq. 4 se reduz à formula de diferença
central de dois pontos e a Eq. 5 se reduz à formula de diferença regressiva de
três pontos.
- Diferença
progressiva com três pontos:
- Diferença
central com dois pontos:
- Diferença
regressiva com três pontos:
Onde
h é o espaçamento entre os pontos.
Para
melhor compreensão a cerca de Diferenciação Númerica, a seguir a resolução de
um problema do livro “Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas”:
"A distribuição do
componente x da velocidade u de um fluido próximo à superfície é medida em
função da distância y a partir da superfície:
![]() |
Fonte: (GILAT, et al.) |
![]() |
Tabela com os valores da velocidade e da distância |
A tensão de
cisalhamento τyx no fluído é descrita pela equação de Newton:
onde μ é o coeficiente
de viscosidade dinâmica. A viscosidade pode ser pensada como sendo uma medida
da fricção interna no fluido. Fluidos que obedecem à equação constitutiva de
Newton são chamados de fluidos Newtonianos. Calcule a tensão de cisalhamento em
y = 0 usando a aproximação de diferença progressiva com três pontos para a
derivada."
Resolução: Ao analisar a tabela, nota-se que os pontos
são igualmente espaçados, sendo que o valor de h= 0,002. Então, para resolver
este problema, utilizaremos a Eq. 6. Como o problema solicitou a tensão de cisalhamento em y=0, e
a partir dos valores fornecidos na tabela, temos:
Na postagem Diferenciação Numérica há um problema implementado no MATLAB.
Referência:
- Gilat, Amos. “MATLAB com aplicações em engenharia”. 2nd ed. vol. 1. Tradução: Figueiredo, Glayson E. . Porto Alegre, RS. Editora Bookman, 2006.
Comentários
Postar um comentário