Diferenciação Numérica - Polinômios de Lagrange

O conceito de diferenciação é fundamental para resolver um grande número de problemas na Engenharia e na Ciência. Muitos destes problemas possuem soluções analíticas, porém as vezes faz-se necessário recorrer a soluções numéricas para entendê-los, pois as soluções analíticas não são conhecidas ou demasiadamente complicadas.

Na postagem Diferenciação Numérica, iniciamos diferenciação numérica. Conhecemos os fundamentos da derivada numérica, pôde-se entender a motivação de se usar a diferenciação numérica e foram apresentadas as fórmulas de aproximação da derivada primeira por diferenças finitas progressiva, regressiva e central, deduzidas a partir da expansão em série de Taylor, bem como um exemplo de como aplicá-las. Hoje, vamos conhecer as fórmulas de diferenciação deduzidas a partir do polinômio de Lagrange.

Consideremos três pontos, (x_i,y_i), (x_i+1,y_i+1) e (x_i+2,y_i+2). O polinômio de Lagrange que passa por esses pontos é:

Derivando a equação a cima,obtém-se:

Esta fórmula pode ser usada para o cálculo da derivada quando os pontos não estão igualmente espaçados, e também calcula qualquer derivada entre os pontos x_i e x_i+2.

Para calcular a derivada a primeira em qualquer um dos três pontos basta substituir o valor x pelo correspondente (x_i, x_i+1 ou x_i+2) na Eq. 2, resultando nas três fórmulas a seguir para o cálculo da derivada primeira em cada ponto:

Quando as distâncias entre os pontos tem valores iguais, a Eq. 3 se reduz à formula de diferença progressiva de três pontos, a Eq. 4 se reduz à formula de diferença central de dois pontos e a Eq. 5 se reduz à formula de diferença regressiva de três pontos.

- Diferença progressiva com três pontos:

- Diferença central com dois pontos:

- Diferença regressiva com três pontos:

Onde h é o espaçamento entre os pontos.

Para melhor compreensão a cerca de Diferenciação Númerica, a seguir a resolução de um problema do livro “Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas”:

"A distribuição do componente x da velocidade u de um fluido próximo à superfície é medida em função da distância y a partir da superfície:

Fonte: (GILAT, et al.)

Tabela com os valores da velocidade e da distância

A tensão de cisalhamento τ_yx no fluído é descrita pela equação de Newton:

onde μ é o coeficiente de viscosidade dinâmica. A viscosidade pode ser pensada como sendo uma medida da fricção interna no fluido. Fluidos que obedecem à equação constitutiva de Newton são chamados de fluidos Newtonianos. Calcule a tensão de cisalhamento em y = 0 usando a aproximação de diferença progressiva com três pontos para a derivada."

Resolução: Ao analisar a tabela, nota-se que os pontos são igualmente espaçados, sendo que o valor de h= 0,002. Então, para resolver este problema, utilizaremos a Eq. 6. Como o problema solicitou a tensão de cisalhamento em y=0, e a partir dos valores fornecidos na tabela, temos:

Na postagem Diferenciação Numérica há um problema implementado no MATLAB.

Referência:

• Gilat, Amos. “MATLAB com aplicações em engenharia”. 2nd ed. vol. 1. Tradução: Figueiredo, Glayson E. . Porto Alegre, RS. Editora Bookman, 2006.