Resolução Numérica de EDPs

       Uma equação diferencial parcial (EDP) é um tipo de equação diferencial usadas para formular, modelar e estudar problemas de dimensões múltiplas (x, y, z, ...). As EDPs são os modelos matemáticos mais utilizados na ciência e na engenharia. Uma EDP contém uma função incógnita de duas ou mais variáveis e suas derivadas parciais em relação a essas variáveis. A ordem de uma EDP é a ordem da mais alta derivada presente e uma solução de uma EDP é qualquer função que satisfaça à equação identicamente. 

     As classificações mais importantes de uma EDP relacionam-se com duas características, que são linearidade e geometria. Consideremos uma EDP de segunda ordem e bidimensional (x e y). A sua equação geral é:

A linearidade desta equação é definida da seguinte forma: toma-se duas soluções da equação (u1) e (u2); a equação é linear se u = u1 + u2 também é solução da equação. A linearidade é uma propriedade desejável em muitos problemas, pois permite a evolução temporal de um de um estado inicial arbitrário u(x,0) em termos de evolução temporal de um conjunto de funções simples conhecidas. A figura abaixo classifica as EDPs bidimensionais de segunda ordem com respeito à linearidade:

FIGURA 1: Linearidade de EDPs bidimensionais de segunda ordem

Fonte: Paulo Brito, Métodos numéricos adaptativos para a resolução de modelos multidimensionais em engenharia química. Disponível em: <https://estudogeral.sib.uc.pt/bitstream/10316/15482/1/ Tese%20doutoramento_Paulo%20Brito.pdf>.  Acesso em 03/09/2017

Outra classificação que devemos estudar é a que diz respeito à geometria da equação, que é baseada no valor do determinante Δ (Δ = B² – 4AC). Podemos observar essas classificações pela figura a seguir:

FIGURA 2: Classificação quanto à geometria

Fonte: Paulo Brito, Métodos numéricos adaptativos para a resolução de modelos multidimensionais em engenharia química. Disponível em: <https://estudogeral.sib.uc.pt/bitstream/10316/15482/1/ Tese%20doutoramento_Paulo%20Brito.pdf>.  Acesso em 03/09/2017

A importância da classificação quanto à geometria se dá pelo fato de diferentes tipos geométricos de EDPs apresentarem soluções que possuem comportamentos distintos.

EDPs podem ser resolvidas de forma analítica e numérica. Na resolução analítica, a exatidão dos resultados constitui uma grande vantagem, porém, os métodos analíticos disponíveis (transformação de variáveis e transformadas integrais) servem apenas para a resolução de EDPs lineares, o que não ocorre na grande maioria dos problemas na ciência e na engenharia. Assim, torna-se indispensável a utilização dos métodos numéricos para resolução de problemas que envolvem EDPs.

Método das diferenças finitas:

Para a resolução de EDPs pelo método das diferenças finitas, elucidaremos três tipos de EDPs: parabólicas, hiperbólicas e elípticas. O método é valido para as seguintes condições:

i)             EDO não linear;

ii)            Condições do fronteira dependentes do tempo;

iii)           Meio não homogêneo ou isotrópico.

Para aplicar o método das diferenças finitas para a solução de uma função Φ(x,t), deve-se dividir o domínio do problema em retângulos uniformes de lados Δx e Δt:

FIGURA 3: Divisão do domínio em retângulos uniformes

• Para uma EDP parabólica, temos:

Usando diferenciação por diferenças finitas para Δt e central para Δx, temos:

Fazendo r = Δt/k(Δx)² e isolando Φ(i,j+1), temos:

A equação 3 é a equação final do método das diferenças finitas para EDP parabólicas.

• Para uma EDP hiperbólica:

Aplicando diferenciação, temos:

Fazendo r = (vΔt/Δx)² e isolando Φ(i,j+1), temos:

• Para uma EDP elíptica:

 

Aplicando diferenciação, temos:

Substituindo (8) e (9) em (7), isolando Φ(i,j) e fazendo manipulações adequadas, temos:

A equação (10) é conhecida como equação de Laplace.

Referências:

CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P.; Métodos Numéricos para Engenharia, Tradução da 5ª Edição, AMGH Editora Ltda., Porto Alegre, 2011;

BRITO, P. M.; Métodos Numéricos Adaptativos para a Resolução de Modelos Multidimensionais em Engenharia Química, 2010. Disponível em: <https:// estudogeral.sib.uc.pt/bitstream/10316/15482/1/Tese%20doutoramento_Paulo%20Brito.pdf>. Acesso em 03/09/2017.