Resolução de integral numérica – Método do trapézio composto
Quando começamos a aprender integrais,
a primeira noção, que equivale a uma integral é primitivar uma função. Porém a integral pode nos dar mais
que uma primitiva de uma função, pode nos dar também valores relacionados a
gráficos e figuras geométricas.
A integração aparece com
freqüência na solução de problemas e no calculo de grandezas da engenharia e na
ciência. Integrais e a operação de integração também são usadas na solução de
equações diferenciais.
A
integração numérica baseia-se em estimar o numero de I(f) correspondente à
integral de uma função f(x) entre os limites a e b. Porém quando temos um
intervalo muito grande também teremos um erro muito grande associado a essa
resolução. Mas para minimizar esses erros dividimos esse grande intervalo em
pequenos intervalo fazendo a integral de cada subintervalos e somando-os. Assim analisando uma representação de uma
função no plano cartesiano, o valor da integral seria a área abaixo da função.
Figura 1:
ilustração de uma integral definida
Porém
quando se tem experimento no qual temos apenas valores experimentais ou então a
integração analítica é de difícil resolução, utilizamos então a integração
numérica. A integração numérica utiliza vários métodos que facilita a resolução
de problemas. Temos os métodos abertos e fechados.
No
método fechado, utiliza-se os pontos finais do intervalo na fórmula que estima
o valor da integral. Os métodos que são considerados fechados são: o método
trapezoidal e o método de Simpson. Já no método aberto esse intervalo de
integração se estender além dos limites determinados, o método do ponto central
e o método da quadratura de Gauss são considerados métodos abertos. Essa
publicação tem como foco a explicação do método trapezoidal.
Método
trapezoidal composto:
Esse método consiste em
resolver uma integral definida dividindo-a em varias partições. Partindo desse
pré-suposto temos então que, uma integral definida no intervalo de a até b,
dividimos ela em N subintervalos com a definição dos pontos x1, x2, x3, x4,
..., xN+1. Onde x1=a e xN+1=b. Para obter N intervalos tem que ter N+1 pontos.
Figura 2:
Divisão de N intervalos para o método do trapézio composto.
Tomando
com base a figura 2 tem que, é uma função limitada pelo intervalo [a, b], onde
a=x0 e b=x4. Nota-se que, esse intervalo foi dividido em 5 pontos formando
assim 4 subintervalos.
A
integral então será:
Nota-se
que cada subintervalo pode ser visualizado como um trapézio. A área de um
trapézio é dada por [Base(maior)+Base(menor)*h]/2. Considerando que h=(x1-x0) e
as Bases= f(x0) e f(x1). A integral do subintervalo [x0,x1] é dada por [(f(x0)+f(x1))/2]*[x1-x0].
Analisando
o conjunto de integrais (1) pode-se então reescrever como sendo:
A equação (2) é a fórmula geral para o
método trapezoidal composto. Para esse caso não necessariamente os
subintervalos devem ser de espaçamentos idênticos. Porém quando se tem
subintervalos com espaçamentos idênticos a equação (2) pode ser simplificada
para:
Usando
o MATLAB para resolução de integral pelo método do trapézio composto temos que
fazer primeiro uma sub-rotina, a qual esta a parte que irá fazer os cálculos.
function I = trapezio(f,a,b,n)
h
=(b-a)/n; % determina o incremento para n
subintervalos
x=a; % define o primeiro ponto
y=eval(f);
% avalia a função para o primeiro ponto
I = h/2 *
y; % inicializa a soma para o primeiro ponto
for i=1:(n-1); % para os restantes pontos até n-1:
x = a + h*i; %
calcula o ponto seguinte
y = eval(f); %
avalia a função neste ponto
I = I + h*y; %
incrementa a soma
end
x=b; % define o último ponto
y=eval(f);
% avalia a função para o último ponto
I =I +
h/2 * y; % adiciona o último termo à soma
Depois de ter feito a sub-rotina:
%esse
programa tem como objetivo resolver integrais
%a
partir do metodo do trapezio usando a sub-rotina trapezio
fun=input('Introduza a função (como string): '); %comando para introduzir
%a
função
disp('Introduza o intervalo para x:'); %comando para adcionar os intervalos
a=input('a='); b=input('b='); %adicionar os intervalos a e b
n=input('Introduza o número de subintervalos: '); %adicionar a quantidade de subintervalo N
I=trapezio(fun,a,b,n);
disp('O valor aproximado da integral: '), disp(I);
Pronto,
o programa está pronto. Basta rodar e introduzir as informações na tela de
comando que obterá o valor aproximado da função integrada em determinado
intervalo.
Clique aqui para ter acesso aos códigos!
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