Diferenciação Numérica

O cálculo é a matemática da variação e como os engenheiros devem lidar continuamente com sistemas e processos que variam, o cálculo é uma ferramenta essencial de sua profissão. No cerne do cálculo, estão os conceitos matemáticas relacionados de derivação e integração (CHAPRA, 5ed). A derivada representa a taxa na qual uma grandeza varia em função de outra grandeza. Essa definição é expressa pela fórmula abaixo:

Conceito algébrico de derivada.

Nesse caso, f(x) ou y é a representação para variável dependente e x é a variável independente. Além disso, a representação de uma derivada também pode ser feita por y’ ou f’(xi) e representa a primeira derivada de y com relação à x, calculada em x_i. Observe nos gráficos abaixo: a medida que Δx tende a zero, obtém-se as derivada no ponto x_i. 

Fonte: (CHAPRA, 5ed.)

Motivação da diferenciação numérica

Em muitas circunstâncias, pode ser difícil de se obter valores de derivadas de uma função, uma vez que, elas podem podem ser expressões matemáticas difíceis ou impossíveis de derivar analiticamente, sendo necessário o uso de métodos numéricos para resolução desses problemas.

As funções a serem derivadas numericamente são representadas tipicamente de duas formas: uma tabela de valores ou uma equação. Para informações tabeladas, fica-se limitado ao número de dados disponíveis. Já com a equação disponível, é possível gerar uma quantidade necessária de f(x) para alcançar uma precisão aceitável para o problema. No entanto, diferenciação numérica é realizada em dados especificados, como um conjunto de pontos discretos. Mesmo com disponibilidade da função a ser derivada, a diferenciação numérica é feita usando os valores dos pontos. 

Aproximação da derivada por diferenças finitas 

Para um determinado conjunto de dados pode-se utilizar a aproximação por diferenças finitas. A aproximação da derivada em um ponto x_i por essa abordagem é baseada nos valores dos pontos na vizinhança de x_i. A derivada no ponto x_i é aproximada pela inclinação da reta que liga o ponto anterior a x_i ao ponto em seguida de x_i . A sua precisão depende da precisão dos pontos do conjunto de dados, do espaçamento entre os pontos e da fórmula específica usada na aproximação. 

Aproximação da derivada em x_i (Fonte: GILAT, et al.)

Na aproximação de derivadas usando diferenças finitas, valores da função em diferentes pontos na vizinhança do ponto x =a são usados na estimativa da inclinação. Existem várias formulas de aproximação por diferenças finitas. A seguir são apresentadas derivadas calculadas partir dos valores de dois pontos e posteriormente apresentado a expansão de Taylor para assim deduzir fórmulas de diferenças finitas para obter com três pontos ou mais.

Fórmulas de diferença progressiva, regressiva e central para derivada primeira

As fórmulas de diferenças finitas progressiva, regressiva e central utilizando dois pontos são as mais simples aproximações. A diferença progressiva é a inclinação da reta que conecta os pontos (x_i, f(x_i)) e (x_i+1, f(_xi+1)). Ela avalia a derivada no ponto x_i com nos valores nesse ponto e naquele imediatamente a sua direita.

Diferença progressiva para derivada de 1ª ordem.

A diferença regressiva é a inclinação da reta que conecta os pontos (x_i-1, f(x_i-1)) e (x_i, f(x_i)), logo, avalia a derivada no ponto x_i com base nos valores nesse ponto e naquele imediatamente à sua esquerda.

Diferença regressiva para derivada de 1ª ordem.

A diferença central é a inclinação da reta que conecta os pontos (x_i-1, f(x_i-1)) e (x_i+1, f(x_i+1)), avaliando a derivada em um dado ponto x_i usando os pontos x_i-1 e x_i+1.

Diferença central para derivada de 1ª ordem.

Aproximação da derivada por diferenças finitas.

No entanto, como já citado, a precisão da aproximação por diferenças finitas, depende, dentre outro fatores, da formula específica usada na aproximação. Geralmente quando se obtém dados a partir de medições experimentais que serão diferenciados, eles apresentam dispersões por causa de erros experimentais e para obter melhores resultados, utiliza-se aproximação por diferenças finitas que usem os valores de mais de dois pontos ou ainda por ser feita com uso de uma função analítica que represente o conjunto de dados de forma aproximada, com a posterior diferenciação dessa função.

Série de Taylor

                As fórmulas de diferenças finitas progressiva, regressiva e central de dois pontos, assim como as de 3 pontos ou mais podem ser deduzidas a partir da expansão em série de Taylor ou polinômios de Lagrange.

Segundo Chapra e Raymond (2011), “em essência, a série de Taylor fornece um meio para prever o valor da função em um ponto em termos do valor da função e suas derivadas em outro ponto. Em particular, o teorema afirma que qualquer função lisa pode ser aproximada por um polinômio.” E para isso, utiliza-se do erro de truncamento para obter um uso de uma aproximação no lugar de um procedimento matemática exato.

Aproximação de uma função pela série de Taylor

                A série de Taylor também pode ser reduzida, obtendo, assim, um resto:

Série de Taylor: 1ª ordem.

Série de Taylor: 2ªordem.

Observe que as duas ultimam equações de Taylor é exata e possui um resto que esse é unção de (ξ), um valor de x entre x_i+1 e x_i, só que desconhecido. Esse resto é valioso por sugerir que um menor h resulta em um menor erro e, além disso, possibilita uma comparação da ordem de grandeza do erro presente em diferentes fórmulas de diferenças finitas. Em geral essa equação do resto é representada pela igualdade abaixo, onde O(hⁿ⁺¹) significa que o erro de truncamento é da ordem hⁿ⁺¹.

Resto e erro de truncamento.

Fórmulas de diferenças finitas de dois pontos deduzidas a partir da expansão em série de Taylor

Para obter f’(x_i) a partir da serie de Taylor, será deduzidos para pontos uniformemente distribuídos, portanto, h = (x_i+1-x_i), mas também seria possível deduzir a partir de pontos não uniformemente distribuídos. Resolvendo a equação expansão da série de Taylor para primeira ordem em relação a f’(x_i), obtém-se:

Logo, o erro de truncamento é de primeira ordem e o valor aproximado para derivada primeira é igual à:

No entanto, ao fazer a diferença finita central com dois pontos, é observado um erro de truncamento da ordem de h². Segue abaixo a dedução: 

Ao subtrair as equações, encontra-se que: 

Logo, com esse erro de truncamento e comparando com as equações para dois pontos, observa-se que a aproximação por diferença central fornece uma aproximação mais precisa para a derivada. No entanto, por mais que o método apresente uma maior precisão, a fórmula da diferença central de dois pontos pode ser usada apensar nos pontos internos e não nos pontos extremos (x₁ ou x_n). Portanto, deve-se utilizar a progressiva na derivada do primeiro ponto e a regressiva pode ser usada na avaliação da derivada no último ponto. 

Fórmulas de diferenças finitas de três pontos deduzidas a partir da expansão em série de Taylor

 A fórmula de diferença finita progressiva com três pontos calcula a derivada no ponto x_i usando o valor da função nesses pontos e nos dois pontos seguintes, x_i+1 e x_i+2. A dedução da fórmula utiliza os três termos da expansão em série de Taylor com um resto para escrever o valor da função nos pontos x, x_i+1 e x_i+2 em termos do valor da função e de suas derivadas no ponto x_i. Seguindo com devidas deduções e combinações, obtém-se uma estimativa para a derivada primeira com erro de O(h²).

De forma semelhante só que utilizando o ponto x_i e os dois pontos anteriores, x_i-1 e x_i-2, obtém-se a fórmula de diferença finita regressiva com três pontos com a mesma ordem de erro. 

Logo, com a utilização dessa fórmula de diferenças finitas, progressiva e regressiva, com três pontos, é possível obter uma maior precisão do que as formulas obtidas com os de dois pontos.  

Segue abaixo uma tabela de diferenças finitas com precisão variável que podem ser usadas na avaliação numérica de derivadas primeiras. As fórmulas podem ser utilizadas quando a função a ser diferenciada é especificada como um conjunto de pontos discretos com variável independente uniformemente espaçada. 

Fonte: (GILAT, et al.)

Aplicação

Taxas de variação de grandezas aparecem em muitas disciplinas, especialmente na ciência e na engenharia. Por exemplo, a lei de Fourier de condução de calor quantifica a observação de que o calor flui de regiões de alta para regiões de baixa temperatura. 

Lei de Fourier de condução de calor.

Nessa equação, k é a condutividade térmica do material e T é o perfil de temperatura nesse mesmo material dependente da posição e q’ é o fluxo de calor unidirecional dado em W/m².  

O livro "Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas" traz um exemplo justamente utilizando a lei de Fourier. 

Um dissipador é uma superfície estendida usada para transferir calor de um material (em x=0) para o ambiente. O calor sai do material pela superfície externa e pela ponta do dissipador. A medição da distribuição de temperatura ao longo de um dissipador fornece os dados a seguir:

O dissipador tem um compromento L = 10cm, área de seção reta de 1,6.10^-5 m² e condutividade térmica k=240W/mK. O fluxo de calor (W/m²) é dado por q_x = -k.dT/dx.

Esquematização do dissipador.

Para determinar a quantidade de calor (em W) perdida entre x =0  e x=L (o fluxo de calor por unidade de tempo em Watts é igual ao fluxo de calor multiplicado pela área da seção reta do dissipador), foi utilizado o método da diferenciação por diferenças finitas para calcular dT/dx, usando a progressiva e regressiva de 3 pontos nos dois primeiros e nos dois últimos pontos e utilizou a central de 4 pontos para os demais. 

Posteriormente, se aplicou na lei de Fourier e foi obtida a taxa de calor a partir da relação de Q=q’.A. Foi utilizado tanto no primeiro ponto quanto no segundo, logo, Q = -((T’(n)) – T’(1)).A.k e assim, obtida a quantidade de calor perdida. Segue abaixo o código do programa, o qual pode ser utilizado de modo geral para todos os problemas que necessite da diferenciação, sendo necessário que os pontos da variável independente estejam igualmente espaçados. É necessário fornecer o vetor da variável independente, da variável dependente e o passo.  O que muda são apenas os dados fornecidos que seguem em outro script.

Sub-rotina para o método da diferenças finitas.

Programa principal

Curva da de T’x X obtida na solução.

Como resposta final, encontra-se que a quantidade de calor (em W) perdida entre x =0  e x=L corresponde a 

Q = -((T’(n)) – T’(1)).A.k = -5.5296 W.

Sugestões: 

Clique aqui para ter acesso aos códigos.

Referências:

• CHAPRA, Steven C. "Métodos numéricos para engenharia". 5. ed. São Paulo, SP: McGraw-Hill, 2008.
• Gilat, Amos. “MATLAB com aplicações em engenharia”. 2nd ed. vol. 1. Tradução: Figueiredo, Glayson E. . Porto Alegre, RS. Editora Bookman, 2006.